Chromebookで印刷はできます。
ただし、プリンタをUSBケーブルでChromebookへ接続し印刷することはできませんので注意してください。

Chromebookから印刷を行うには、Googleクラウドプリントという技術を使います。
大きくは2つの方法があります。

1つ目は、Googleクラウドプリント対応のプリンタを使う方法、2つ目は、USBまたはネットワークでプリンタと接続されたパソコンを中継して印刷する方法です。
従来のプリンタ(Googleクラウドプリントに対応していないプリンタ)を利用する場合は後者になります。
いずれの方法も、Googleアカウントとインターネット接続が必要です。

詳細については、
プリンタを Google クラウド プリントに接続する
をご覧ください。

なお、パソコンを経由して印刷する場合、中継用のパソコンにGoogleアカウントの設定を行いますが、その際、Google Syncの設定についての確認画面が表示される場合があります。
自分のパソコンではない場合、同期をしないように設定しましょう。(チェック項目をすべてオフに!)

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Google Syncは連絡先やカレンダーなどの情報を複数のデバイスで共有できるとても便利な機能ですが、設定によってはChromeに保存した各サイトにログインするためのIDやパスワードの同期もできてしまうため、プリンタを使いたいからと言って、印刷に使用するパソコンに自分のGoogleアカウントを設定してしまうと、それらの情報もそのパソコンに残ってしまうので注意が必要です。
詳しくはこちらをご覧ください。